Publications Mathématiques de Besançon
Algèbre et Théorie des Nombres
Avec cedram.org english version
Table des matières de ce fascicule | Article précédent | Article suivant
Z. Chonoles; J. Cullinan; H. Hausman; A.M. Pacelli; S. Pegado; F. Wei
Arithmetic Properties of Generalized Rikuna Polynomials
Publications mathématiques de Besançon no. 1 (2014), p. 19-33, doi: 10.5802/pmb.2
Article PDF
Class. Math.: 11R32, 11S20
Mots clés: postcritically finite, Galois group, cyclotomic field

Résumé

Soit $\ell \ge 3$ un nombre entier fixé. Rikuna a défini un polynôme $r(x,t)$ sur un corps de fonctions $K(t)$ dont le groupe de Galois est cyclique d’ordre $\ell $, où $K$ satisfait à certaines hypothèses pas très restrictives. Dans cet article, nous définissons la famille des polynômes de Rikuna généralisés $\lbrace r_n(x,t) \rbrace _{n \ge 1}$ de degré $\ell ^n$. Les $r_n(x,t)$ sont construits de manière itérative à partir de $r(x,t)$. Nous calculons les groupes de Galois des $r_n(x,t)$ pour $\ell $ impair sur un corps de base arbitraire et donnons des applications aux systèmes dynamiques arithmétiques.

Bibliographie

[1] W. Aitken, F. Hajir, C. Maire. Finitely ramified iterated extensions. Int. Math. Res. Not. 2005, no. 14, 855-880.  MR 2146860 |  Zbl 1160.11356
[2] J. Cullinan, F. Hajir. Ramification in iterated towers for rational functions. Manuscripta Math. 137 (2012), no. 3-4, 273-286.  MR 2875279 |  Zbl 1235.14023
[3] M. Daub, J. Lang, M. Merling, A. Pacelli, N. Pitiwan, M. Rosen. Function Fields with Class Number Indivisible by a Prime $\ell $. Acta Arith. 150 (2011), no. 4, 339-359.  MR 2847264 |  Zbl 1263.11098
[4] R. Jones, J. Rouse. Iterated endomorphisms of abelian algebraic groups. Proc. Lond. Math. Soc. 100 (2010), no. 3, 763-794.  MR 2640290 |  Zbl 1244.11057
[5] Y. Kishi. A family of cyclic cubic polynomials whose roots are systems of fundamental units. J. Number Theory 102 (2003), no. 1, 90-106.  MR 1994474 |  Zbl 1034.11060
[6] T. Komatsu. Arithmetic of Rikuna’s generic cyclic polynomial and generalization of Kummer theory. Manuscripta Math. 114 (2004) 265-279.  MR 2075966 |  Zbl 1093.11068
[7] S. Lang, Algebra, Graduate Texts in Mathematics 211. Springer-Verlag, New York, 2002.  MR 1878556 |  Zbl 0984.00001
[8] E. Lehmer. Connection between Gaussian periods and cyclic units. Math. Comp. 50 (1988), no. 182, 535-541.  MR 929551 |  Zbl 0652.12004
[9] J. Neukirch, Algebraic Number Theory, Springer-Verlag, Berlin, 1999.  MR 1697859 |  Zbl 0747.11001
[10] R.W.K. Odoni. The Galois theory of iterates and composites of polynomials. Proc. London. Math. Soc. 51 (1985), no. 3, 385-414.  MR 805714 |  Zbl 0622.12011
[11] Y. Rikuna. On simple families of cyclic polynomials. Proc. Amer. Math. Soc. 130 (2002), no. 8, 2215-2218  MR 1896400 |  Zbl 0990.12005
[12] R. Schoof, L. Washington. Quintic polynomials and real cyclotomic fields with large class numbers. Math. Comp. 50 (1988), no. 182, 543-556.  MR 929552 |  Zbl 0649.12007
[13] D. Shanks. The simplest cubic fields. Math. Comp. 28 (1974), 1137-1157  MR 352049 |  Zbl 0307.12005
[14] Y.Y. Shen, L.C. Washington. A family of real $2^n$-tic fields. Trans. Amer. Math. Soc. 345 (1994), no. 1, 413-434.  MR 1264151 |  Zbl 0822.11071
[15] Y.Y. Shen, L.C. Washington. A family of real $p^n$-tic fields. Canad. J. Math. 47 (1995), no. 3, 655-672.  MR 1346157 |  Zbl 0834.11041
[16] J. Silverman, The arithmetic of dynamical systems. Graduate Texts in Mathematics, 241. Springer, New York, 2007.  MR 2316407 |  Zbl 1130.37001

UFC LMB PUFC