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Table des matières de ce fascicule | Article précédent | Article suivant Amílcar Pacheco Sur le rang des variétés abéliennes sur un corps de fonctions Publications mathématiques de Besançon no. 2 (2014), p. 31-46, doi: 10.5802/pmb.7 Article PDF Class. Math.: 11G10 Mots clés: Abelian varieties, Tate’s conjecture, Selmer groups. Résumé Ce texte est un survey concernant la question du rang d’une variété abélienne $A$ sur un corps de fonctions $K$ en une variable sur un corps de base $k$. Il s’agit non seulement de discuter une borne supérieure pour ce rang, mais aussi d’étudier le comportement de cette borne si on prend une extension abélienne finie $L$ de $K$. On se demande aussi : que se passe-t-il quand on enlève cette dernière hypothèse ? Dans un cas particulier, on discute de la validité d’un analogue du théorème de Lang-Néron. Pour cela, il nous faudra des hypothèses additionnelles. À la fin du texte, nous discutons des situations où ces hypothèses sont vérifiées. Bibliographie [BoZa09] F.A.Bogomolov, Y.G.Zarhin, Ordinary reduction of K3 surfaces, Cent. Eur. J. Math. 7(2009), 206-213. MR 2506961 | Zbl 1178.14039 [CaCi93] F. Catanese, C. Ciliberto, Symmetric products of elliptic curves and surfaces of general type with $p_g=q=1$, J. Alg. Geometry 2 (1993), 389-411. MR 1211993 | Zbl 0791.14015 [CoGr96] J. Coates, R. Greenberg, Kummer theory for abelian varieties over local fields, Inventiones Math. 124 (1996), 129-174. MR 1369413 | Zbl 0858.11032 [Co06] B. Conrad, Chow’s $K/k$-image and $K/k$-trace, and the Lang-Néron theorem, Enseignement Mathématique 52 (2006), 37-108. MR 2255529 | Zbl 1133.14028 [De74] P. Deligne, Conjectures de Weil I, Publ. Math. IHES 43 (1974) 273-307. Numdam | MR 340258 | Zbl 0287.14001 [De81] P. Deligne, Conjectures de Weil II, Publ. Math. IHES 52 (1981) 313-428. Numdam | Zbl 0456.14014 [El06] J. Ellenberg, Selmer groups and Mordell-Weil groups of elliptic curves over towers of function fields, Compositio Math. 142 (2006), 1215-1230. MR 2264662 | Zbl 1106.11021 [HiPaWa05] M. Hindry, A. Pacheco, R. Wazir, Fibrations et conjectures de Tate, J. Number Theory 112 (2005), 345-368. MR 2141536 | Zbl 1082.11044 [Ho02] S. Howson, Euler characteristics as invariants of Iwasawa modules, Proc. London Math. Soc. 85 (2002), 634-658. MR 1936815 | Zbl 1036.11053 [KT03] K. Kato, F. Trihan, On the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture in characteristic $p>0$, Inventiones Math. 153 (2003), 537-592. MR 2000469 | Zbl 1046.11047 [KP99] N. Katz, P. Sarnak, Random matrices, Frobenius eigenvalues and monodromy, AMS Coll. Pub. vol. 45, 1999. MR 1659828 | Zbl 0958.11004 [Ka02] N. Katz, Twisted L-functions and monodromy, Annals Math. Studies, Princeton Univ. Press, number 150, 2002. MR 1875130 | Zbl 1029.14005 [Ly11] C. Lyons, Large monodromy for a family of surfaces of general type and some arithmetic application, preprint 2011, http://www-personal.umich.edu/~lyonsc/. [Mi68] J. S. Milne, The Tate-Shafarevich group of constant abelian variety, Invent. Math. 6 (1968), 91-105. MR 244264 | Zbl 0159.22402 [Mi75] J. S. Milne, On a conjecture of Artin and Tate, Annals Math. 102 (1975), 517-533. MR 414558 | Zbl 0343.14005 [Mi80] J. S. Milne, Étale cohomology, Princeton University Press, 1980. MR 559531 | Zbl 0433.14012 [Mi81] J. S. Milne, Comparison between the Brauer group with the Tate-Šafarevič group, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect. 1A 28 (1981), 735-743. MR 656050 | Zbl 0503.14010 [Na94] K. Nagao, Construction of high rank elliptic curves, Kobe J. Math. 11 (1994), 211-219. MR 1329433 | Zbl 0848.11026 [Na97] K. Nagao, $\mathbb{Q}(T)$-rank of elliptic curves and certain limit coming from the local points, Manuscripta Math. 92 (1997), 13-32. MR 1427665 | Zbl 0870.11034 [Og62] A. P. Ogg, Cohomology of abelian varieties over function fields, Ann. Math. 76 (1962), 185-212. MR 155824 | Zbl 0121.38002 [Pa05] A. Pacheco, On the rank of abelian varieties over function fields, Manuscripta Math. 118 (2005), 361-381. MR 2183044 | Zbl 1082.11037 [Pa09] A. Pacheco, Selmer groups of abelian varieties in extensions of function fields, Math. Zeitschrift 261 (2009), 787-804. MR 2480758 | Zbl 1244.11094 [Pa13] A. Pacheco, Rational points of Jacobian varieties in pro-$\ell $ towers of function fields, J. Number Theory 133 (2013), 3517-3523. MR 3071826 | Zbl 1297.11059 [Pi98] R. Pink, $\ell $-adic monodromy groups, cocharacters and the Mumford-Tate conjecture, J. reine und angewandet Mathematik (Crelle) 495 (1998), 187-237. MR 1603865 | Zbl 0920.14006 [Ram89] D. Ramakrishnan, Regulators, algebraic cycles and values of $L$-functions, in : M. Stein, R. Dennis (Eds.), Algebraic K-Theory and Algebraic Number Theory, American Mathematical Society, Contemp. Math. 83 (1989), 183-310. MR 991982 | Zbl 0694.14002 [Ra07] N. Ratazzi, Borne sur la torsion des variétés abéliennes de type CM, Ann. Éc. Normal Sup. Paris 40 (2007), 951-983. Numdam | MR 2419854 | Zbl 1140.14041 [Ray68] M. Raynaud, Caractéristique d’Euler-Poincaré d’un faisceau et cohomologie des variétés abéliennes, Sém. Bourbaki 1964/65, exp. 286, dans “Dix Exposés sur la cohomologie des schémas”, 1968. Numdam | Zbl 0204.54301 [Sc82] P. Schneider, Zur Vermutung von Birch undSwinnerton-Dyer über globalen Funktionenkörpern, Math. Ann. 260 (1982), 495-510. MR 670197 | Zbl 0509.14022 [Se68] J.-P. Serre, Abelian $\ell $-adic representations and elliptic curves, 1968. Zbl 0186.25701 [Se72] J.-P. Serre, Propriétés galoisiennes des points d’ordre fini des courbes elliptiques, Invent. Math. 15 (1972), 259-331. MR 387283 | Zbl 0235.14012 [Se85] J.-P. Serre, Résumé des cours au Collège de France, 1984-85, Oeuvres IV, pp. 27-32. [Se86] J.-P. Serre, Cohomologie galoisienne, Lec. Notes Math. 5, Springer-Verlag, 1986. Zbl 0259.12011 [SeTa68] J.-P. Serre, J. Tate, Good reduction of abelian varieties, Annals of Math. 88 (1968), 492-517. MR 236190 | Zbl 0172.46101 [SGA 4 1/2] P. Deligne, Cohomologie étale (Séminaire de Géométrie Algébrique 4 1/2), Lecture Notes in Math 569, Springer-Verlag, 1977. Zbl 0345.00010 [SGA 7] A. Grothendieck, Modèles de Néron et monodromie dans SGA 7, Groupes de Monodromie en Géométrie Algébrique, Exp. IX, Lect. Notes in Math 288 (1972), Springer-Verlag. MR 354656 | Zbl 0248.14006 [Sh61] G. Shimura, Y. Taniyama, Complex multiplication to abelian varieties and its applications to number theory, Publications of the Japan Mathematical Society, 1971. MR 125113 | Zbl 0112.03502 [Si04] J. Silverman, The rank of elliptic surfaces in unramified abelian towers over number fields, J. reine und angewandet Mathematik (Crelle) 577 (2004), 153-169. MR 2108217 | Zbl 1105.11016 [Ta65] J. Tate, Algebraic cycles and poles of zeta-functions, Arithmetical Algebraic Geometry, Harper and Row, New York, 1965, pp. 93-110. MR 225778 | Zbl 0213.22804 [Ta66] J. Tate, On the conjectures of Birch and Swinnerton-Dyer and a geometric analog, Sém. Bourbaki, exp. 305 (1965/66). Numdam | Zbl 0199.55604 [Ul02] D. Ulmer, Elliptic curves with high rank over function fields, Annals of Math. 155 (2002), 295-315. MR 1888802 | Zbl 1109.11314 |
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