Publications Mathématiques de Besançon
Algèbre et Théorie des Nombres
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Amílcar Pacheco
Sur le rang des variétés abéliennes sur un corps de fonctions
Publications mathématiques de Besançon no. 2 (2014), p. 31-46, doi: 10.5802/pmb.7
Article PDF
Class. Math.: 11G10
Mots clés: Abelian varieties, Tate’s conjecture, Selmer groups.

Résumé

Ce texte est un survey concernant la question du rang d’une variété abélienne $A$ sur un corps de fonctions $K$ en une variable sur un corps de base $k$. Il s’agit non seulement de discuter une borne supérieure pour ce rang, mais aussi d’étudier le comportement de cette borne si on prend une extension abélienne finie $L$ de $K$. On se demande aussi : que se passe-t-il quand on enlève cette dernière hypothèse ? Dans un cas particulier, on discute de la validité d’un analogue du théorème de Lang-Néron. Pour cela, il nous faudra des hypothèses additionnelles. À la fin du texte, nous discutons des situations où ces hypothèses sont vérifiées.

Bibliographie

[Ba92] W. Bauer, On the conjecture of Birch and Swinnerton-Dyer for abelian varieties over function fields in characteristic $p>0$, Invent. Math. 108 (1992), 263-287.  MR 1161093 |  Zbl 0807.14014
[BoZa09] F.A.Bogomolov, Y.G.Zarhin, Ordinary reduction of K3 surfaces, Cent. Eur. J. Math. 7(2009), 206-213.  MR 2506961 |  Zbl 1178.14039
[CaCi93] F. Catanese, C. Ciliberto, Symmetric products of elliptic curves and surfaces of general type with $p_g=q=1$, J. Alg. Geometry 2 (1993), 389-411.  MR 1211993 |  Zbl 0791.14015
[CoGr96] J. Coates, R. Greenberg, Kummer theory for abelian varieties over local fields, Inventiones Math. 124 (1996), 129-174.  MR 1369413 |  Zbl 0858.11032
[Co06] B. Conrad, Chow’s $K/k$-image and $K/k$-trace, and the Lang-Néron theorem, Enseignement Mathématique 52 (2006), 37-108.  MR 2255529 |  Zbl 1133.14028
[De74] P. Deligne, Conjectures de Weil I, Publ. Math. IHES 43 (1974) 273-307. Numdam |  MR 340258 |  Zbl 0287.14001
[De81] P. Deligne, Conjectures de Weil II, Publ. Math. IHES 52 (1981) 313-428. Numdam |  Zbl 0456.14014
[El06] J. Ellenberg, Selmer groups and Mordell-Weil groups of elliptic curves over towers of function fields, Compositio Math. 142 (2006), 1215-1230.  MR 2264662 |  Zbl 1106.11021
[HiPaWa05] M. Hindry, A. Pacheco, R. Wazir, Fibrations et conjectures de Tate, J. Number Theory 112 (2005), 345-368.  MR 2141536 |  Zbl 1082.11044
[Ho02] S. Howson, Euler characteristics as invariants of Iwasawa modules, Proc. London Math. Soc. 85 (2002), 634-658.  MR 1936815 |  Zbl 1036.11053
[KT03] K. Kato, F. Trihan, On the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture in characteristic $p>0$, Inventiones Math. 153 (2003), 537-592.  MR 2000469 |  Zbl 1046.11047
[KP99] N. Katz, P. Sarnak, Random matrices, Frobenius eigenvalues and monodromy, AMS Coll. Pub. vol. 45, 1999.  MR 1659828 |  Zbl 0958.11004
[Ka02] N. Katz, Twisted L-functions and monodromy, Annals Math. Studies, Princeton Univ. Press, number 150, 2002.  MR 1875130 |  Zbl 1029.14005
[Ly11] C. Lyons, Large monodromy for a family of surfaces of general type and some arithmetic application, preprint 2011, http://www-personal.umich.edu/~lyonsc/.
[Mi68] J. S. Milne, The Tate-Shafarevich group of constant abelian variety, Invent. Math. 6 (1968), 91-105.  MR 244264 |  Zbl 0159.22402
[Mi75] J. S. Milne, On a conjecture of Artin and Tate, Annals Math. 102 (1975), 517-533.  MR 414558 |  Zbl 0343.14005
[Mi80] J. S. Milne, Étale cohomology, Princeton University Press, 1980.  MR 559531 |  Zbl 0433.14012
[Mi81] J. S. Milne, Comparison between the Brauer group with the Tate-Šafarevič group, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect. 1A 28 (1981), 735-743.  MR 656050 |  Zbl 0503.14010
[Na94] K. Nagao, Construction of high rank elliptic curves, Kobe J. Math. 11 (1994), 211-219.  MR 1329433 |  Zbl 0848.11026
[Na97] K. Nagao, $\mathbb{Q}(T)$-rank of elliptic curves and certain limit coming from the local points, Manuscripta Math. 92 (1997), 13-32.  MR 1427665 |  Zbl 0870.11034
[Og62] A. P. Ogg, Cohomology of abelian varieties over function fields, Ann. Math. 76 (1962), 185-212.  MR 155824 |  Zbl 0121.38002
[Pa05] A. Pacheco, On the rank of abelian varieties over function fields, Manuscripta Math. 118 (2005), 361-381.  MR 2183044 |  Zbl 1082.11037
[Pa09] A. Pacheco, Selmer groups of abelian varieties in extensions of function fields, Math. Zeitschrift 261 (2009), 787-804.  MR 2480758 |  Zbl 1244.11094
[Pa13] A. Pacheco, Rational points of Jacobian varieties in pro-$\ell $ towers of function fields, J. Number Theory 133 (2013), 3517-3523.  MR 3071826 |  Zbl 1297.11059
[Pi98] R. Pink, $\ell $-adic monodromy groups, cocharacters and the Mumford-Tate conjecture, J. reine und angewandet Mathematik (Crelle) 495 (1998), 187-237.  MR 1603865 |  Zbl 0920.14006
[Ram89] D. Ramakrishnan, Regulators, algebraic cycles and values of $L$-functions, in : M. Stein, R. Dennis (Eds.), Algebraic K-Theory and Algebraic Number Theory, American Mathematical Society, Contemp. Math. 83 (1989), 183-310.  MR 991982 |  Zbl 0694.14002
[Ra07] N. Ratazzi, Borne sur la torsion des variétés abéliennes de type CM, Ann. Éc. Normal Sup. Paris 40 (2007), 951-983. Numdam |  MR 2419854 |  Zbl 1140.14041
[Ray68] M. Raynaud, Caractéristique d’Euler-Poincaré d’un faisceau et cohomologie des variétés abéliennes, Sém. Bourbaki 1964/65, exp. 286, dans “Dix Exposés sur la cohomologie des schémas”, 1968. Numdam |  Zbl 0204.54301
[Sc82] P. Schneider, Zur Vermutung von Birch undSwinnerton-Dyer über globalen Funktionenkörpern, Math. Ann. 260 (1982), 495-510.  MR 670197 |  Zbl 0509.14022
[Se68] J.-P. Serre, Abelian $\ell $-adic representations and elliptic curves, 1968.  Zbl 0186.25701
[Se72] J.-P. Serre, Propriétés galoisiennes des points d’ordre fini des courbes elliptiques, Invent. Math. 15 (1972), 259-331.  MR 387283 |  Zbl 0235.14012
[Se85] J.-P. Serre, Résumé des cours au Collège de France, 1984-85, Oeuvres IV, pp. 27-32.
[Se86] J.-P. Serre, Cohomologie galoisienne, Lec. Notes Math. 5, Springer-Verlag, 1986.  Zbl 0259.12011
[SeTa68] J.-P. Serre, J. Tate, Good reduction of abelian varieties, Annals of Math. 88 (1968), 492-517.  MR 236190 |  Zbl 0172.46101
[SGA 4 1/2] P. Deligne, Cohomologie étale (Séminaire de Géométrie Algébrique 4 1/2), Lecture Notes in Math 569, Springer-Verlag, 1977.  Zbl 0345.00010
[SGA 7] A. Grothendieck, Modèles de Néron et monodromie dans SGA 7, Groupes de Monodromie en Géométrie Algébrique, Exp. IX, Lect. Notes in Math 288 (1972), Springer-Verlag.  MR 354656 |  Zbl 0248.14006
[Sh61] G. Shimura, Y. Taniyama, Complex multiplication to abelian varieties and its applications to number theory, Publications of the Japan Mathematical Society, 1971.  MR 125113 |  Zbl 0112.03502
[Si04] J. Silverman, The rank of elliptic surfaces in unramified abelian towers over number fields, J. reine und angewandet Mathematik (Crelle) 577 (2004), 153-169.  MR 2108217 |  Zbl 1105.11016
[Ta65] J. Tate, Algebraic cycles and poles of zeta-functions, Arithmetical Algebraic Geometry, Harper and Row, New York, 1965, pp. 93-110.  MR 225778 |  Zbl 0213.22804
[Ta66] J. Tate, On the conjectures of Birch and Swinnerton-Dyer and a geometric analog, Sém. Bourbaki, exp. 305 (1965/66). Numdam |  Zbl 0199.55604
[Ul02] D. Ulmer, Elliptic curves with high rank over function fields, Annals of Math. 155 (2002), 295-315.  MR 1888802 |  Zbl 1109.11314

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