Publications Mathématiques de Besançon
Algèbre et Théorie des Nombres
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Jean-Marie De Koninck; Imre Kátai
The number of large prime factors of integers and normal numbers
Publications mathématiques de Besançon (2015), p. 5-12, doi: 10.5802/pmb.10
Article PDF
Class. Math.: 11K16, 11N37, 11N41
Mots clés: Normal numbers, number of prime factors

Résumé

Dans une série d’articles, nous avons construit de grandes familles de nombres normaux en utilisant la concaténation des valeurs successives du plus grand facteur premier $P(n)$, où $n$ parcourt certaines suites d’entiers positifs. Une approche similaire en utilisant la fonction plus petit facteur premier nous a aussi permis de construire d’autres familles de nombres normaux. En désignant par $\omega (n)$ le nombre de nombres premiers distincts de $n$, nous avons montré que la concaténation des valeurs successives de $|\omega (n)-\lfloor \log \log n \rfloor |$ dans une base fixe $q\ge 2$, où $n$ parcourt les entiers $n\ge 3$, donne place à un nombre normal. Ici, nous démontrons le résultat suivant. Soit $q\ge 2$ un entier fixe. Étant donné un entier $n\ge n_0=\max (q,3)$, soit $N$ l’unique entier positif satisfaisant $q^N\le n < q^{N+1}$ et désignons par $h(n,q)$ le résidu modulo $q$ du nombre de facteurs premiers distincts de $n$ situés dans l’intervalle $[\log N, N]$. En posant $x_N:=e^N$, nous créons alors un nombre normal dans la base $q$ en utilisant la concaténation des nombres $h(n,q)$, où $n$ parcourt les entiers $\ge x_{n_0}$.

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