Publications Mathématiques de Besançon
Algèbre et Théorie des Nombres
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Andrea Siviero
Realisable classes, Stickelberger subgroup and its behaviour under change of the base field
Publications mathématiques de Besançon (2015), p. 69-92, doi: 10.5802/pmb.13
Article PDF
Class. Math.: 11R33, 11R04, 11R18, 11R29, 11R32, 11R65
Mots clés: Galois module structure, Realisable classes, Locally free class groups, Fröhlich’s Hom-description of locally free class groups, Stickelberger’s theorem

Résumé

Soient $K$ un corps de nombres d’anneau des entiers $O_K$ et $G$ un groupe fini. On note $\mathrm{R}(O_K[G])$ l’ensemble des classes dans le groupe des classes des modules localement libres $\mathrm{Cl}(O_K[G])$ qui peuvent être obtenues par l’anneau des entiers des K-algèbres galoisiennes modérément ramifiées de groupe de Galois $G$. McCulloh a prouvé que, pour tout $G$, l’ensemble $\mathrm{R}( O_K[G])$ est contenu dans le soi-disant sous-groupe de Stickelberger $\mathrm{St}( O_K[G])$ dans $\mathrm{Cl}( O_K[G])$.

Dans ce papier d’abord nous nous focalisons sur la relation entre $\mathrm{St}( O_K[G])$ et $\mathrm{Cl}^{\circ }(O_{K}[G])$, où $\mathrm{Cl}^{\circ }(O_{K}[G])$ est le noyau du morphisme $\mathrm{Cl}( O_K[G])\longrightarrow \mathrm{Cl}(O_K)$, induit par l’augmentation $ O_K[G]\longrightarrow O_K$. Puis, comme exemple de calcul du groupe $\mathrm{St}( O_K[G])$, nous montrons, en utilisant sa définition, que $\mathrm{St}(\mathbb{Z}[G])$ est trivial si $G$ est soit un groupe cyclique d’ordre $p$ soit un groupe diédral d’ordre $2p$, avec $p$ premier impair.

Enfin, nous montrons la fonctorialité de $\mathrm{St}( O_K[G])$ par rapport au changement du corps de base. Ceci implique que, soit $L$ est un corps de nombres, si $N$ est une $L$-algèbre galoisienne modérément ramifiée, de groupe de Galois $G$, et $\mathrm{St}( O_K[G])$ est connu être trivial pour un certain sous-corps $K$ de $L$, alors $O_N$ est un $ O_K[G]$-module stablement libre.

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