Publications Mathématiques de Besançon
Algèbre et Théorie des Nombres
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Georges Gras
Sur le module de Bertrandias–Payan dans une $p$-extension – Noyau de capitulation
(On the Bertrandias–Payan module in a $p$-extension – Capitulation kernel)
Publications mathématiques de Besançon (2016), p. 25-44
Article PDF
Class. Math.: 11R04, 11R11, 11R16
Mots clés: Class field theory, $p$-ramification, Bertrandias–Payan module, capitulation of ideal classes, transfer map, Kummer theory

Résumé

Pour un corps de nombres $K$ et un nombre premier $p$ on désigne par $BP_K$ le composé des $p$-extensions cycliques de $K$ plongeables dans une $p$-extension cyclique de degré arbitrairement grand. L’extension $BP_K/K$ est $p$-ramifiée et extension finie du composé $\widetilde{K}$ des $\mathbb{Z}_p$-extensions de $K$. Le groupe ${\mathcal{B}\mathcal{P}}_{\!K} := {\rm Gal}(BP_K/\widetilde{K})$ est appelé le module de Bertrandias–Payan. Nous étudions l’application transfert $j^{}_{L/K} : {\mathcal{B}\mathcal{P}}_{\!K} \rightarrow {\mathcal{B}\mathcal{P}}_{\!L}$ (comme morphisme de capitulation de classes d’idéaux) dans une $p$-extension $L/K$. Dans le cas cyclique de degré $p$, nous prouvons que $j^{}_{L/K}$ est injectif sauf si $L/K$ est kummerienne, $p$-ramifiée, non globalement cyclotomique mais localement cyclotomique en $p$ (théorème 3.1). Nous donnons une formule explicite (théorème 5.2) pour $\vert \, {\mathcal{B}\mathcal{P}}_{\!L}^G \,\vert \,.\, \vert \, {\mathcal{B}\mathcal{P}}_{\!K} \,\vert ^{-1}$ et montrons de quelle façon son intégralité dépend du groupe de torsion ${\mathcal{T}}_L$ du groupe de Galois de la pro-$p$-extension abélienne $p$-ramifiée maximale de $L$, en utilisant un logarithme $p$-adique convenable.

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